Взаимозависимости гидрологические характеристики рельефа и их масштабная инвариантность (моделирование стока по ЦМР)

Исследование гидрологических характеристик рельефа по ДЗЗ обусловлено следующими обстоятельствами. В 1940-х гг. Р. Хортон предложил определять масштаб участков водотоков по номеру порядка их впадения. Благодаря этому, даже вручную на основе анализа карт удалось найти эмпирические закономерности изменения гидрологических характеристик от масштаба к масштабу, а также взаимозависимость характеристик одного масштаба. С появлением ЦМР и моделирования стока в ГИС эти измерения продолжают использоваться, автоматизированы. Характеристики, полученные в модели стока, когда поток сформирован (не рядом с истоком) считаются близкими к реальным. Но опираются на определение масштаба порядком впадения, в результате чего оценки получаются грубыми, относительными, плохо сопоставимыми (субъективный выбор первого порядка). Так, о площади водосбора водотоков определённого масштаба утверждается только то, что она меняется от порядка n к порядку m пропорционально 4,6(m–n) (одно из соотношений Хортона). Происхождение этих эмпирических зависимостей не разъясняется.

Второе обстоятельство. Общим местом стало утверждение, что рельеф самоподобен или масштабно инвариантен (МИ). О МИ говорится, как об эмпирическом факте, но не доказанном (нет и строго определения) и не используемом практически. Хотя ещё 50 лет назад Б. Мандельброт предложил считать МИ рельефа физическим принципом.

Результаты, опубликованные в 2025 г., получены при статистическом анализе линий стока (ЛС), смоделированных в ГИС алгоритмом D8 по ЦМР.

1. Предложено измерять масштаб ЛС в какой-то её точке, длиной ЛС к этой точке, L. Это позволяет получать объективные, сопоставимые абсолютные результаты измерений, и не ограничивает измерениями только в устьях.

2. Продемонстрировано проявление МИ зависимостей характеристик рельефа: соотношения, полученные в результате измерений по ЦМР, не зависят от использованного разрешения. Это не определяется моделированием стока, так как аналогична ситуация для характеристик рельефа, найденных геометрически без анализа стока (LESSA).

3. Предложено рассматривать МИ рельефа так, как это принято в физике, т.е. как МИ уравнений, связывающих характеристики рельефа. МИ уравнения должны сохраняться при изменении всех расстояний и промежутков времени в одинаковое число раз (проективное преобразование). Могут быть ограничения для области действия МИ.

Непосредственно из этого определения выводится: если зависимость площади водосбора, A, от масштаба L обладает МИ, то зависимость имеет вид A = aL². Аналогично частота встречаемости участков ЛС одного масштаба H = vL^–2 и A(L)H(L) = const. Ещё одна характеристика   — это плотность всех участков линий стока с длиной больше L. Те из найденных соотношений, которые соответствуют известным экспериментальным зависимостям (отношения Хортона, закон Хака, матрица и коэффициент Токунага), близки к этим законам, но с той разницей, что мы аналитически получили конкретную величину показателя степени, а в традиционных результатах эти показатели приблизительны (например, о законе Хака пишут A = uL^d, где d из диапазона 0,493–0,526). Полученная нами аппроксимация экспериментальных измерений по ЦМР четырёх территорий (SRTM в проекции UTM, больше 10⁸ пикселей в каждой) подтвердила эти соотношения и помогла найти множители a = 0,214, v = 1,4.
Таким образом, соотношения, полученные из МИ, в чем-то точнее экспериментальных и понятно, что их обуславливает.
Ряд результатов о закономерностях при впадении притоков.

4. Из уравнения для частоты ЛС находится удельное число линий стока с определённой длиной при впадении IN(L) = –Hʹ(L) =2v/L³.

5. Выдвинуто и подтверждено предположение, что притоки одного масштаба, IN(L), делятся между принимающими водотоками пропорционально суммарной длине (или частоте встречаемости) водотоков принимающих масштабов.

6. Предложена матрица впадений I(L₁, L₂) — удельное число впадений из ЛС длины L₁ в ЛС длины L₂ (Аналог матрицы Токунага, которую считают по порядкам.). Для матрицы найдена хорошо совпадающая с экспериментальными измерениями аппроксимация I(L₁, L₂) = bv²(L₁L₂)^–2. Интегрирование этой формулы дает коэффициент впадений (аналог коэффициента Токунага), который вычисляется по последовательности интервалов значений длины: интервалы размером F, интервал номер n от L₀F^n–1 до L₀Fⁿ. Коэффициент — это число линий стока с длиной из интервала n, впадающих в линии стока с длиной из интервала m и равен  . Эта величина зависит только от масштабной разницы между интервалами, а значит, обладает МИ.

Опираясь на данные модели стока, начали поиск формального описания среднего профиля водотока и продольного уклона, U. Общепринято грубое описание U = R/L^p, где R и p задаются для каждой реки, а то и для каждого участка реки. Предложили учитывать также высоту над уровнем моря, V. Предложили рассчитывать по модели стока и анализировать матрицу уклонов U(V, L). Для большого региона (0,5 млн км2) нашли аппроксимацию такой матрицы U = C(V + Va)^p/(L + La)^q с двумя возможными вариантами параметров C, Va, p, La, q. Из этой формулы получаем дифференциальное уравнение, так как U = –Vʹ. Его решение V = V_с(L_с/L)^c (при одном из вариантов параметров) описывает профиль водотока (V_с и L_с — начальные значения). Это соотношение предстоит исследовать.